Edição 6 - outubro de 2017

Artigo
A Matemática na Metrologia
JOSÉ CARLOS VALENTE
Divisão de Metrologia Mecânica (Dimci/Dimec)

“A Matemática está em tudo”, tema da Semana Nacional de Ciência e Tecnologia (23 a 29 de outubro de 2017), é a inspiração para este breve artigo.

Sei que para metrologistas ou mesmo para outros possíveis leitores o que apresento aqui é algo bem básico e até considerado óbvio. Porém, pode ser que, de certa forma, para alguns, ele agregue valor com relação a informar sobre a importância da matemática para a metrologia.

A matemática é uma ciência exata que está presente em praticamente tudo na nossa vida. Segundo o grande físico, matemático, astrônomo e filósofo italiano Galileu Galilei, ela é o “alfabeto no qual Deus escreveu o universo", enquanto que para o não menos renomado Leonardo da Vinci “nenhuma investigação humana pode ser chamada realmente Ciência, se não puder ser demonstrada matematicamente”.

A metrologia também é uma ciência exata e que, se não é a principal, é uma das principais razões da existência de nossa Instituição atuando em prol da sociedade. Sem a aplicação de conceitos dos mais elementares da matemática até os mais complexos, assim como de conceitos da estatística, a metrologia não existiria. Exemplificando, quando da realização de medições repetidas é, de maneira geral, desejável que se determine a média aritmética e o desvio-padrão. Isto tem como objetivo se chegar ao resultado que melhor represente o valor mais provável da grandeza que está sendo medida e à dispersão dos valores obtidos por repetição. Na obtenção da média aritmética e do desvio-padrão, os quais a estatística considera respectivamente uma medida de tendência central e uma medida de dispersão, são aplicados cálculos como a soma, a subtração, a divisão, etc.

A metrologia depende da matemática, não apenas de forma indireta, isto é, através da estatística, mas também de forma direta como, por exemplo, na determinação das equações que representam grandezas e objetivam suas mensurações.

Sem a matemática, nem mesmo a determinação de uma área poderia ser obtida com um simples instrumento de medição de comprimento, como uma régua e uma trena ou com outros instrumentos mais sofisticados, aplicados à determinação de áreas em que se necessitem níveis de exatidão mais apurados.

Imaginemos uma atividade metrológica corriqueira que a princípio qualquer um de nós pode realizar, como determinar a área de uma sala de formato retangular para colocação de piso cerâmico e, com isso, saber a quantidade de material a comprar.

Utilizando uma trena e medindo a largura (L) e o comprimento (C) da sala, por exemplo, em metros (m), obter-se-á a sua área (A) em m2, por meio da multiplicação de ambos os valores medidos. O modelo matemático aplicado no caso seria então: A = L x C

A seguir, é apresentado, de maneira simplificada, um exemplo clássico, talvez um pouquinho mais “científico”, mas que por ser ainda bem básico serve para reforçar aqui o entendimento da importância da matemática para a metrologia.

Tal exemplo tem como base ou até como inspiração a disseminação metrológica na área de massa que é feita a partir do protótipo nacional do “kg” (padrão nacional de 1 kg) existente no Laboratório de Massa (Lamas), da Divisão de Metrologia Mecânica (Dimec), da Diretoria de Metrologia Científica e Industrial (Dimci).

Vamos considerar que se queira determinar as massas reais de 2 pesos-padrão de valor nominal “0,5 kg” confeccionados do mesmo material de um peso-padrão de valor nominal de “1 kg”, que tem a massa real de 1,008 kg e que servirá de referência nesse experimento.

Como meio de medição utiliza-se uma balança comparadora. Com ela pode-se obter a diferença de massa entre os 2 pesos-padrão de valor nominal “0,5 kg” e o padrão de referência.

Representando matematicamente o experimento, tem-se: M1 = massa desconhecida de um dos pesos-padrão de valor nominal “0,5 kg” M2 = massa desconhecida do outro peso-padrão de valor nominal “0,5 kg” P = 1,008 kg (peso-padrão de referência)

Obtém-se então inicialmente “(M1 + M2) – P” e, a seguir, a diferença “M1 – M2”.

Sabendo-se o valor de P e considerando-se que o valor obtido da diferença “(M1 + M2) – P” é de 0,012 kg, tem-se: “(M1 + M2) – 1,008 kg = 0,012 kg” onde “M1 + M2 = 1,020 kg”

Considerando-se que “M1 – M2 = 0,005 kg”, tem-se: “M1 = 0,005 kg + M2”

Substituindo-se M1 em “M1 + M2 = 1,020 kg”, tem-se: “(0,005kg + M2) + M2 = 1,020 kg” onde “M2 = 0,508 kg” e, consequentemente, “M1 = 0,512 kg”

Cabe lembrar que os valores de M1 e M2 estão arredondados para a terceira casa decimal e que, neste exemplo para obtê-los, correções inerentes a todo o processo de medição não foram consideradas.

De forma análoga, a disseminação continuaria de “0,5 kg” para valores nominais menores como, por exemplo, “0,2 kg”, “0,1 kg”, etc.

Graças a essa manipulação matemática, tem-se apenas um padrão primário da grandeza massa, que é o protótipo internacional do “kg”, o qual fica sob o poder do “Bureau Internacional de Pesos e Medidas” (BIPM). A partir dele, réplicas, denominadas de protótipos nacionais de “1 kg”, são detidas por Institutos Nacionais de Metrologia espalhados pelo mundo.

O Inmetro detém no Lamas o protótipo nacional do “kg” de número 66. A partir dele é feita a disseminação para toda a escala de massa (múltiplos e submúltiplos) e materializada em massas ou pesos-padrão existentes no próprio Lamas, na Diretoria de Metrologia Legal (Dimel), em laboratórios metrológicos e indústrias do País, assim como em ambientes onde há a comercialização de produtos através de suas respectivas massas.

Recursos matemáticos como o aqui apresentado, assim como outros que, devido à complexidade, requerem um grau de conhecimento mais aprofundado, são utilizados no dia-a-dia nas atividades metrológicas do Inmetro. Isso se dá tanto na disseminação das unidades de medida do SI das várias grandezas no âmbito de atuação dos laboratórios da Dimci, quanto nas atividades laboratoriais da Dimel.